MAKALAH MATEMATIKA DASAR
TURUNAN (DIFERENSIAL)
Disusun
Oleh :
Ade
Novi Hidayani
Kholida
Hafzony
M.Andinata
Nopitasari
Tutut
Krisnayanti Suhardino
Kelompok 8
Kelas 1G
Prodi Farmasi
Fakultas Farmasi Dan Sains
Universitas Muhammadiyah Pof. Dr. Hamka
2013
KATA PENGANTAR
Puji
dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat
limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini dengan
baik dan tepat pada waktunya. Dalam makalah ini kami membahas mengenai Turunan
Fungsi. Makalah ini dibuat dengan
beberapa bantuan dari berbagai pihak untuk membantu menyelesaikan
tantangan dan hambatan selama mengerjakan makalah ini. Oleh karena itu, kami
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah
membantu dalam penyusunan makalah ini. Kami menyadari bahwa masih banyak
kekurangan yang mendasar pada makalah ini. Oleh karena itu kami mengundang
pembaca untuk memberikan saran serta kritik yang dapat membangun kami. Kritik
konstruktif dari pembaca sangat kami harapkan untuk penyempurnaan makalah
selanjutnya.
Akhir
kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita sekalian.
Jakarta , Desember 2013
Definisi Turunan
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain
dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai
tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat
yang bersamaan oleh Sir Isaac
Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan
berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.
Aturan menentukan turunan fungsi
Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi,
aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.
Turunan dasar
Aturan - aturan
dalam turunan fungsi adalah :
- f(x), maka f'(x) = 0
- Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
- Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
- Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
- Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))
Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi
Misalkan fungsi
f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g
(x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :
- ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
- ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)
- (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
- ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)2)
Turunan fungsi trigonometri
- d/dx ( sin x ) = cos x
- d/dx ( cos x ) = - sin x
- d/dx ( tan x ) = sec2 x
- d/dx ( cot x ) = - csc2 x
- d/dx ( sec x ) = sec x tan x
- d/dx ( csc x ) = -csc x cot x
Turunan fungsi invers
(f-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)
Turunan
Matematika adalah
Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :
Rumus Turunan dan contoh
Turunan Kedua
Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Contoh :
SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI
Persamaan
garis singgung pada kurva y = 2x3-5x2-x+6 yang berabsis 1
adalah …
A. 5x + y
+ 7 = 0 C. 5x + y – 7 = 0
B. 5x + y
+ 3 = 0 D. 3x – y – 4 = 0
E.
3x – y – 5 = 0
Penyelesaian
:
y = 2x3 – 5x2 – x + 6 →
x = 1
y’
= 6x2 – 10x – 1
y(1)
= 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6
= 2 – 5 –
1 + 6
= 2 →
(1,2)
y’ = m =
6x2 – 10x – 1
= 6(1)2
– 10.1 – 1
= -5
Pgs : y –
b = m (x – 1)
y – 2 =
-5 (x – 1)
y – 2 =
-5x + 1
5x + y +3
= 0
Jawaban
: B
Turunan
pertama fungsi F(x) = e-4x+5 adalah F’(x) = …
A.
e-4 C.
4e-4x+5
B. -4e-4x+5 D. (-4x+5) e-4
E.
( -4x+5) e-3x+4
Penyelesaian
:
F
(x) = e-4x+5
F’(x)
= -4e-4x+5
Jawaban : B
Turunan
pertama fungsi F(x) = Cos5(4x-2) adalah F’(x) = …
-5
Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
5
Cos4 (4x-2) Sin (4x-2)
20
Cos4 (4x-2) Sin (2x-2)
10
Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)
-10
Cos3 (4x-2) Sin (8x-4)
Penyelesaian
:
F(x)
= Cos5(4x-2)
u
= Cos (4x-2) → u’ = -4Sin(4x-2)
n
= 5
F’(x)
= nun-1.u’
=
5 Cos5-1 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
=
5 Cos4 (4x-2) . -4 Sin (4x-2)
=
-20 Cos4 (4x-2)Sin (4x-2)
=
-10.2 Cos (4x-2)sin (4x-2) . Cos3 (4x-2)
=
-10 Sin 2(4x-2) Cos3 (4x-2)
=
-10 Sin (8x-4) Cos3 (4x-2)
Jawaban : E
4.
Diketahui f(x) = 9
maka Lim f(x + p) – f(x) =. . .
10x2/3 p→0 p
A.
– 3 C. – 3
10x5/3 5x5/3
B.
– 2 D. 3
5x5/3 5x1/3
3
10x1/3
Penyelesaian
:
f(x)
= 9
10x2/3
f’(x)= 9 x2/3
10
5. Nilai
minimum fungsi f (x) = 2x3 + 3x2 + 3 dalam interval -2 ≤ x ≤ 1 adalah …
A. -6
C. 3
B. -1 D. 6
E. 8
Penyelesaian :
f (x) = 2x3 + 3x2 +
3 pada -2 ≤ x ≤ 1
f’(x) = 6x2 + 6x
Stasioner : 6x2 + 6x = 0
3x (2x+2) = 0
3x = 0 →
x = 0
2x+2 = 0 →
x = -1
f(-2) = 2 (-2)3 + 3 (-2)2
+ 3
= -16 + 12 + 3
= -1
f(1)
= 2 (1)3 + 3 (1)2 + 3
= 2 + 3 + 3
= 8
Jawaban
: E
6.
Diketahui f(x) = Cos2 (3x-1) , maka f’(x) = ….
A. -6 Cos (3x-1) Sin (3x-1)
B. -3 Cos (3x-1) Sin (3x-1)
C. -2 Cos (3x-1) Sin (3x-1)
D. 2
Cos (3x-1) Sin (3x-1)
E. 6
Cos (3x-1) Sin (3x-1)
Penyelesaian :
f(x) = Cos2 (3x-1)
u
= Cos (3x-1) → u’ = -3 Sin (3x-1)
n
= 2
f’(x) = nun-1 . u’
= 2. Cos2-1 (3x-1) . -3 Sin
(3x-1)
= -6 Cos (3x-1) Sin (3x-1)
Jawaban
: A
7.
Turunan pertama fungsi f(x) = e + In (2x-1) adalah f’(x) = ….
A. e3x+2 + 1 C.
2e3x+2 – 1
2x-1 2x-1
B. 5e3x+2 + 1
D. 3e3x+2
+ 2
2x-1 2x-1
E.
3e3x+2 – 2
2x-1
Penyelesaian :
f (x) = e3x+2 + In (2x-1)
f’(x) = 3e3x+2 + 2
2x-1
Jawaban
: D
8.
Diketahui fungsi f(x) = 2x2 + 4 , maka f’(x) = ...
√x
A. 3√x – 2 √x C.
3√x -
1 √x
X2 2x2
B. 5√x – 2 √x D.
5√x +
1 √x
X2
2x2
E.
3√x + -4 √x
X2
Penyelesaian :
f(x)
= 2x + 4
√x
= (2x + 4) . x -½
= 2x3/2 + 4x-½
f’(x) = 3x½ – 2x-3/2
= 3√x – 2
x√x
= 3√x – 2 √x
X2
Jawaban
: A
9. Ditentukan kurva dengan persamaan y = x3
+ px2 + q garis y = -8x + 12 menyinggung kurva di titik dengan absis 2.nilai p = …
A.
5 C.
-1
B.
Ï„ D.
-5
E.
-83
4
Penyelesaian :
y = x3 + px2 + q
y’= 3x2 + 2px
y =
-8x + 12
m = -8 →
12 + 4p = -8
p = -5
Jawaban
: D
10.
Fungsi f(x) = (x-8) (x2 + 2x + 1) turun pada interval …
A. -5 < x < 1 C. -5 < x < 3
B. -1 < x < 5 D. x < -1
atau x >5
E. x < -5 atau x > 1
Penyelesaian :
f(x) = (x-8) ( x2 + 2x + 1)
= x3 + 2x2
+ x – 8x2 – 16x – 8
= x3 – 6x2
– 15x – 8
f’(x) = 3x2 – 12x – 15
f turun : f’(x) < 0
3x – 12x- 15 < 0
(3x + 3) (x – 5) < 0
3x + 3 < 0 →
x < -1
x – 5
< 0 → x <
5
-1 < x < 5
Jawaban
: B
11. Fungsi
f(x) = 4x3 – 18x2 + 15x + 1 mempunyai nilai maksimum
untuk x = …
A. 4,5 C.
1
B. 2,5 D.
0,5
E.
-11,5
Penyelesaian :
f(x) = 4x3 – 18x2
+15x + 1
f’(x)= 12x2– 36x + 15
stasioner : f’(x) = 0
12x – 36x + 15 = 0
3 (4x – 12x + 5) = 0
3 (2x-1) (2x-5) = 0
2x-1 = 0 →
x = 0,5
2x-5 = 0 →
x = 2,5
Jawaban
: B
12.
Turunan pertama dari F(x) = 3 Cos3 (2x+4) adalah F’(x) = …
A. 18 Cos2 (2x + 4) Sin (2x +
4)
B.
9 Cos2 (2x + 4) Sin
(2x + 4)
C. -18 Cos (2x + 4) Sin (2x + 4)
D. -18 Cos (2x + 4) Sin (4x + 8)
E.
-9 Cos (2x + 4) Sin (4x + 8)
Penyelesaian :
f(x) = 3 Cos3 (2x + 4)
u
= 3 Cos (2x + 4) → u’ = -6 Sin (2x + 4)
n
= 3
f’(x) = nun-1 . u’
= 3.2 Cos2 (2x + 4)
. -6 Sin (2x + 4)
= -36 Cos2 (2x + 4)
Sin (2x + 4)
= -18.2 Cos (2x + 4) Sin (2x +
4) Cos (2x + 4)
= -18 Sin 2(2x + 4) Cos (2x +
4)
= -18 sin (4x + 8) Cos (2x + 4)
Jawaban
: D
13. Nilai
maksimum dari f(x) = x3 – 6x2 + 9x pada interval -1 ≤ x ≤
3 adalah ….
A. 16 C.
3
B. 4 D.
1
E.
0
Penyelesaian :
f(x) = x3 – 6x2 + 9x
f’(x)= 3x2 – 12x + 9
stasioner : f’(x)
3x3 – 12x + 9
3(x2 – 4x +
3)
(x -1) (x - 3)
x = 1 , x = 3
f(-1) = (-1)3 – 6(-1)2
+ 9(-1)
= -1 – 6 – 9
= -16
f(4)
= (4)3 – 6(4)2 + 9.4
= 64 – 96 – 36
= 4
Jawaban
: B
14. Pers.
grs. Singgung kurva y = 1 - √x pada
titik berabsis 1 adalah …
x2
A. 5x + 2y + 5 = 0 C. 5x + 2y – 5 = 0
B. 5x – 2y – 5 = 0 D. 3x + 2y – 3 = 0
E.
3x – 2y – 3 = 0
Penyelesaian :
y = 1 - √x
x2
= x -2 – x ½
y’= -2x -3– 1 x -½
2
y’= m = -2(1)-3 – 1 (1) -½
2
= -2 – 0,5 =2,5
y(1) = 1(1)-2 – (1)½
= 1-1= 0
Pgs : y – 0 = 2,5 (x – 1)
y – 0 = 2,5x – 2,5 x2
2y – 0 = 5x – 5
5x + 2y – 5 = 0
Jawaban
: C
15.
Turunan pertama fungsi f(x) = Cos3 (5 – 4x ) adalah f’(x) =…
A. -12 Cos2 (5 – 4x ) Sin (5 –
4x ) B. 12 Cos (5 – 4x ) Sin (5 – 4x )
C. -12 Sin2 (5 – 4x ) Sin (5 –
4x )
D.
6 Sin (5 – 4x ) Sin (5 – 4x )
E.
6 Cos (5 – 4x ) Sin (10 – 8x)
Penyelesaian :
f(x) = Cos3 ( 5 – 4x )
u = Cos (5 – 4x ) →
u’ = 4 Sin (5 – 4x )
n = 3
f’(x) = nun-1 . u’
= 3 Cos3-1 (5 – 4x ) . 4 Sin (5 – 4x )
= 12 Cos2 (5 – 4x ) Sin (5 – 4x )
= 6.2 Cos (5 – 4x ) Sin (5 – 4x ) Cos (5 – 4x )
= 6 Sin 2 (5 – 4x ) Cos (5 – 4x )
= 6 Sin (10 – 8x ) Cos (5 – 4x )
Jawaban
: E
16. Persegi
panjang ABCD dengan AB = 10 cm dan BC = 6 cm serta PB = QC = RD = SA = x cm. luas
minimum PQRS =..
A.
4 C.
28
B.
8 D.
38
E.
60
Penyelesaian :
LABCD
= 6 .10 = 60
= 60 – ( 2.1/2 ΔPAS – 2.1/2 ΔPBQ)
= 60 – (x(10 – x ) – x(6 – x)
= 60 – 6x + x² – 10x + x²
= 60 – 16x + 2x²
L’ = 4x – 16
x
= 4 > 0
LPQRS Min = 60 – 16.4 + 32
= 28
Jawaban
: C
17.
Fungsi f(x) = x3 – 4x2 + 4x + 6 naik pada interval …
A. -2 < x < 2/3 C. x < -2
atau x > 2/3
B. 2/3 < x < 3 D. x < 2/3
atau x > 2
E.
x < -2/3 atau x > 2
Penyelesaian :
f(x) = x³ - 4x + 4x + 6
f’(x)= 3x²– 8x + 4
F naik : f’(x) > 0
3x – 8x + 4 > 0
(3x – 2 ) (x – 2 ) > 0
3x – 2 > 0 →
x> 2/3
x – 2 > 0 →
x > 2
x
< 2/3 atau x > 2
Jawaban
: D
18.
Nilai minimum fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 5 dalam interval -3 ≤ x ≤ 4
adalah . . .
A. -160 C.
-131
B. -155 D.
-99
E.
-11
Penyeleaian
:
f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 5
f’(x)= 6x² – 12x – 48
Stasioner : f’(x) = 0
6x² – 12x – 48 = 0
6(x² – 2x – 8 ) = 0
(x + 2 ) (x – 4)
X = -2, x = 4
f(-2) = 2(-2)³ – 6(-2)² – 48(-2) + 5
= -131
f(4)
= 2(4)³ – 6(4)² – 48(4) + 5
= -155
Jawaban
: B
19.
Turunan pertama fungsi f(x) = (x + 2)³ untuk x = -3 adalah . . .
(1 – 3x)²
A. 0,000024 C. 0,0024
B. 0,00024 D.
0,024
E.
0,24
Penyelesaian :
F(x) = (x + 2)³
(1 – 3x)²
u
= (x + 2)³ →
u’ = 3(x + 2)
v
= (1 – 3x)² →
v’ = -6(1 – 3x)
f’(x) = u’v – uv’
v
= 3(x +2)² (1 -3x)² + 6(x+2)³ (1 – 3x)
(1 – 3x )
F’(-3) = 3(-3 +2)² (1-(-3))² + 6(-3 +2)³
(1 – 3(-3))
(1 – 3(-3))4
= 3.1.100 – 6.10
104
= 0,024
Jawaban
: D
20.
Jika y = 2x³ + x² – 3 , maka dy = . . .
dx
A. 2x² + 2 C. 6x² + 2x
– 3
B. 6x² + 2x D.
x² + x E. 6x ²+ 2
Penyelesaian
:
y
= 2x³ + x² – 3
dy
= 6x² + 2x
dx
Jawaban
: B
21.Garis
singgung yang menyinggung lengkungan y = x³ – 2x + 1 di titik (1,0) akan
memotong garis x =3 di titik . . .
A. (3,3) C.
(3,1)
B. (3,2) D.
(3,-1)
E.
( 3,-2)
Penyelesaian :
y = x³ – 2x + 1
y’ = m = 3x² – 2
= 3.1² – 2 = 1
Pgs: y – b = m (x – 1)
y – 0 = 1 (x – 1 )
y = x – 1
y(3)= 3 – 1
= 2 →
(3,2)
Jawaban
: B
22.
Dik. Kurva y = x³ + 2ax² + b. Garis y = -9x – 2 menyinggung kurva di titik
berabsis 1 .
Nilai a = . . .
A. -3 C.
1/3
B. -1/3
D.
3
E.
8
Penyelesaian :
y = x³ + 2ax² + b
y’= 3x² + 4ax
Kurva y = -9x – 2
y’= m = -9
3 + 4a = -9
4a = -9 – 3
a = -3
Jawaban
: A
23. Sebuah kusen jendela
berbentuk seperti gambar keliling sama dengan k. supaya luasnya maksimum nilai r adalah . . .
A.
k C.
k + π
4Ï€ 4
B. k D.
k – Ï€
4
+ π 4
E.
k
Ï€
Penyelesaian
:
Keliling
: 2x + 2y + πx = k
Luas L: (2x . y) + ½ Ï€x²
: x(k – 2x – Ï€x) + ½ Ï€x²
: kx – 2x – ½ Ï€x²
L’: k – 4x – Ï€x
x =
k
4 + π
yang nomor 12. pada penyelesain masuk rumus, kenapa 3.2 cos^2(2x 4).-6 sin(2x 4)
BalasHapusbukannya nilai U= 3 cos(2x-4)
kenapa pada penyelesaian masuk rumus menjadi 2 cos^2(2x 4) kalo pangkat 2 saya tau datangnya dari mana tpi yg jadi pertanyaan 2 yg depan nilai cos atau 2 cos.mksih
Salah nulis kali gan
HapusPenyelesaian turunan ini gimana ya? Tolong dibantu. Thx before.
BalasHapusY=3(X2-5x+1)5
Tolong bantu bang..
BalasHapus4x3 + 5)2
...mksi bang
Tanya pa nn pe papa
HapusMinta daftar pustaka
BalasHapusKalu turunan yg ini kek mana ya penyelesaian nya kk?
BalasHapusY=3/5x3??